Решение задач с экономическим содержанием (банковские вклады и кредиты) (Система подготовки к ЕГЭ)

15 декабря планируется взять кредит в банке на 13 месяцев. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 12-й долг должен быть на 50 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 13-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 804 тысяч рублей?  (ЕГЭ-2018, основной период – 1 июня 2018)

Решение текстовых задач на процентное соотношение влаги в веществе (Система подготовки к ОГЭ и ЕГЭ)

Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 16 килограммов изюма, если виноград содержит 83% воды, а изюм содержит 15% воды?

Решение текстовых задач на смеси и сплавы (Система подготовки к ОГЭ и ЕГЭ)

Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 24 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску сплава, чтобы полученный новый сплав содержал 40% меди? (Математика. Подготовка к ЕГЭ / под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова)

Решение текстовых задач на концентрацию растворов (Система подготовки к ОГЭ и ЕГЭ)

Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600 г 15%-го раствора. Сколько граммов 10%-го раствора было взято? (Математика. Подготовка к ЕГЭ / под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова)

Решение простейших логарифмических уравнений (Система подготовки к ЕГЭ)

Уравнение 1

Найдите корень уравнения

\[ l𝑜𝑔_{14} (𝑥−3)=𝑙𝑜𝑔_{14} (8𝑥−31) \]

(Математика. Подготовка к ЕГЭ / под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова)

Уравнение 2

Найдите корень уравнения

\[ 𝑙𝑜𝑔_4 (𝑥−5)=2 \]

(Математика. Подготовка к ЕГЭ / под редакцией Д.А. Мальцева)

Уравнение 3

Найдите корень уравнения

\[ 𝑙𝑜𝑔_8 (11−𝑥)=\frac2{3} \]

(Математика. Подготовка к ЕГЭ / под редакцией Д.А. Мальцева)

Уравнение 4

Найдите корень уравнения

\[ 𝑙𝑜𝑔_8 (38−37𝑥)=𝑙𝑜𝑔_8 (4−5𝑥)+1 \]

(Математика. Подготовка к ЕГЭ / под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова)

Уравнение 5

Найдите корень уравнения

\[ 𝑙𝑜𝑔_{𝑥+11} 625=4 \]

(Математика. Подготовка к ЕГЭ / под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова)

Решение простейших показательных уравнений (Система подготовки к ЕГЭ)

Уравнение 1 

Найдите корень уравнения

\[ 6^{1−4𝑥}=216 \]

 (Математика. Подготовка к ЕГЭ / под редакцией Д.А. Мальцева)

Уравнение 2

Найдите корень уравнения

\[ 2^{3𝑥+1}=\frac1{32} \]

 (Математика. Подготовка к ЕГЭ / под редакцией Д.А. Мальцева)

Уравнение 3

Найдите корень уравнения

\[ 5^{45−𝑥}=25^{7𝑥} \]

(Математика. Подготовка к ЕГЭ / под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова)

Уравнение 4

Найдите корень уравнения

\[ 5^{𝑙𝑜𝑔_{25}(4𝑥−19)}=9 \]

 (Математика. Подготовка к ЕГЭ / под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова)

Уравнение 5

Найдите корень уравнения

\[ 3^{10−3𝑥}=0,75∙4^{10−3𝑥} \]

 (Математика. Подготовка к ЕГЭ / под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова)

Решение простейших иррациональных уравнений (Система подготовки к ЕГЭ)

Уравнение 1

Найдите корень уравнения

\[ \sqrt\frac2{3𝑥−4}=\frac{1}{5} \]

(Математика. Подготовка к ЕГЭ / под редакцией Д.А. Мальцева)

Уравнение 2

Найдите корень уравнения

\[ \sqrt{6𝑥+4}=2𝑥 \]

(Математика. Подготовка к ЕГЭ / под редакцией Д.А. Мальцева)

Уравнение 3

Найдите корень уравнения

\[ 2\sqrt{𝑥+3}=−𝑥. \]

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней. (Математика. Подготовка к ЕГЭ / под редакцией Д.А. Мальцева)

Применение производной к исследованию функций (Система подготовки к ЕГЭ)

Задача 1

На рисунке изображен график функции ​\( 𝑦=𝑓(𝑥) \)​, определенной на интервале (-5;10). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна. (Математика. Подготовка к ЕГЭ / под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова)

Задача 2

На рисунке изображен график ​\( 𝑦=𝑓′(𝑥) \)​ – производной функции ​\( 𝑓(𝑥) \)​, определенной на интервале (-7;4). В какой точке отрезка [-1;3] функция ​\( 𝑓(𝑥) \)​ принимает наибольшее значение? (Математика. Подготовка к ЕГЭ / под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова)

Задача 3

На рисунке изображен график ​\( 𝑦=𝑓′(𝑥) \)​ – производной функции ​\( 𝑓(𝑥) \)​, определенной на интервале (-8;15). Найдите количество точек минимума функции ​\( 𝑓(𝑥) \)​, принадлежащих отрезку [1;13]. (Математика. Подготовка к ЕГЭ / под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова)

Задача 4

На рисунке изображен график ​\( 𝑦=𝑓′(𝑥) \)​ – производной функции ​\( 𝑓(𝑥) \)​, определенной на интервале (-6;9). Найдите промежутки возрастания ​\( 𝑓(𝑥) \)​. В ответе укажите длину наибольшего из них. (Математика. Подготовка к ЕГЭ / под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова)

Задача 5

На рисунке изображен график ​\( 𝑦=𝑓′(𝑥) \)​ – производной функции ​\( 𝑓(𝑥) \)​, определенной на интервале (-8;8). Найдите промежутки убывания функции ​\( 𝑓(𝑥) \)​. В ответ укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. (Математика. Подготовка к ЕГЭ / под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова)

Задача 6

На рисунке изображен график ​\( 𝑦=𝑓′(𝑥) \)​ – производной функции ​\( 𝑓(𝑥) \)​, определенной на интервале (-9;4). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции ​\( 𝑓(𝑥) \)​ параллельна прямой ​\( 𝑦=−3𝑥+10 \)​ или совпадает с ней. (Математика. Подготовка к ЕГЭ / под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова)

Задача 7

На рисунке изображен график функции ​\( 𝑦=𝑓(𝑥) \)​ и касательная к нему в точке с абсциссой ​\( 𝑥_0 \)​. Найдите значение производной функции ​\( 𝑦=𝑓(𝑥) \)​ в точке ​\( x_0 \)​. (Математика. Подготовка к ЕГЭ / под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова)

Задача 8

На рисунке изображен график ​\( 𝑦=𝑓′(𝑥) \)​ – производной функции ​\( 𝑓(𝑥) \)​. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику ​\( 𝑓(𝑥) \)​ параллельна оси абсцисс. (Математика. Подготовка к ЕГЭ / под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова)

Задача 9

На рисунке изображен график функции ​\( 𝑦=𝑓(𝑥) \)​. Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 5. Найдите значение производной функции в точке ​\( x_0=5 \)​. (Математика. Подготовка к ЕГЭ / под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова)

Задача 10

На рисунке изображен график функции ​\( 𝑦=𝑓(𝑥) \)​ и касательная к нему в точке с абсциссой ​\( x_0 \)​. Найдите значение производной функции ​\( 𝑓(𝑥) \)​ в точке ​\( x_0 \)​. (Математика. Подготовка к ЕГЭ / под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова)

Решение показательных и логарифмических неравенств (Система подготовки к ЕГЭ)

Решите неравенство

\[ 3log_4 (x^2+5x+6)≤5+log_4 \frac{(x+2)^3}{(x+3)} \]

(Математика. Подготовка к ЕГЭ / под редакцией Д. А. Мальцева)

Решение показательных и логарифмических неравенств (Система подготовки к ЕГЭ)

Найдите все целые значения x, удовлетворяющие неравенству ​

\[ log_2(2+(\sqrt[10]5)^{x^2−11x}+log_2 \frac{x−5}{12})\leq1 \]

(Математика. Подготовка к ЕГЭ / под редакцией Д. А. Мальцева)